Montrer que si \(X\) est une v.a. Ayant un moment d'ordre \(2\) : $$\forall t\gt 0,\qquad {{P(\lvert X-E(X)\rvert\geqslant t)}}\leqslant{{\frac{\operatorname{Var} (X)}{t^2} }}$$

Appliquer Markov

On applique l'inégalité de Markov à \(Y=\lvert X-E(X)\rvert\)

(Inégalité de Markov)

Le bibliothécaire de l’université d’Ankh-Morpork est un personnage lunatique qui adore les bananes. Chaque fois qu’on emprunte un livre, il exige en échange un nombre aléatoire \(Z\) de bananes
La loi de la variable aléatoire \(Z\) est la suivante : $$\begin{array}{r|c|c|c}k&0&1&2\\ \hline P(Z=k)&0,3&0,6&0,1\end{array}$$
Calculer l'espérance et la variance de \(Z\)

Espérance
$$E(Z)=0\times0,3+1\times0,6+2\times0,1=0,8$$

Variance

$$\begin{align} E(Z^2)&=0^2\times0,3+1^2\times0,6+2^2\times0,1=1\\ \operatorname{Var}(Z)&=E(Z^2)-(E(Z))^2=0,64\end{align}$$

Le bibliothécaire de l’université d’Ankh-Morpork est un personnage lunatique qui adore les bananes. Chaque fois qu’on emprunte un livre, il exige en échange un nombre aléatoire \(Z\) de bananes
La loi de la variable aléatoire \(Z\) est la suivante : $$\begin{array}{r|c|c|c}k&0&1&2\\ \hline P(Z=k)&0,3&0,6&0,1\end{array}$$
On a \(E(Z)=0,6\) et \(\operatorname{Var}(Z)=0,36\)
\(25\) étudiants souhaitent emprunter chacun quatre livres. Les demandes du bibliothécaire pour chaque livre sont indépendantes, toujours selon la loi ci-dessus
Calculer l'espérance et la variance du nombre \(U\) de bananes que vont coûter les \(100\) livres

Variable aléatoire intermédiaire
\(Z_i\) la v.a. Qui donne le nombre de bananes demandées pour le \(i\)-ème livre
Alors $$U=\sum^{100}_{n=1}Z_i$$

Espérance via indépendance
$$E(U)=\sum^{100}_{i=1}E(Z_i)\overset{\text{indépendance} }=\sum^{100}_{i=1}E(Z)=100E(Z)=80$$

Variance via indépendance

$$\operatorname{Var}(U)=\operatorname{Var}\left(\sum^{100}_{i=1}Z_i\right)\overset{\text{indépendance}}=\sum^{100}_{i=1}\operatorname{Var}(Z)=100\operatorname{Var}(Z)=36$$

Le bibliothécaire de l’université d’Ankh-Morpork est un personnage lunatique qui adore les bananes. Chaque fois qu’on emprunte un livre, il exige en échange un nombre aléatoire \(Z\) de bananes
La loi de la variable aléatoire \(Z\) est la suivante : $$\begin{array}{r|c|c|c}k&0&1&2\\ \hline P(Z=k)&0,3&0,6&0,1\end{array}$$
On a \(E(Z)=0,6\) et \(\operatorname{Var}(Z)=0,36\)
\(25\) étudiants souhaitent emprunter chacun quatre livres. Les demandes du bibliothécaire pour chaque livre sont indépendantes, toujours selon la loi ci-dessus
On a \(E(U)=80\) et \(\operatorname{Var}(U)=36\)
Les \(25\) étudiants se cotisent pour acheter des bananes avant de se rentre à la bibliothèque. Ils veulent dépenser le moins possible, donc acheter le moins de bananes possible, tout en ayant au moins \(99\%\) de chance d'avoir assez de bananes pour tout emprunter
En utilisant l'inégalité de Tchebychev, déterminer combien de bananes peuvent suffire

Donner l'inégalité qu'on veut
On veut : $$P(U\leqslant b)\geqslant99\%\iff P(U-80\leqslant b-80)\geqslant0,99\iff P(U-80\geqslant b-80+1)\leqslant0,01$$

Tchebychev
Par Tchebychev, $$P(U-80\geqslant n)\leqslant P(\lvert U-80\rvert\geqslant n)\leqslant\frac{\operatorname{Var}(U)}{n^2}\leqslant0,01$$ \(\implies n^2=3600\implies n=60\)

Conclusion

\(b=n+80-1=139\) bananes suffisent